Линейная зависимость векторов

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Курсовая работа. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20113 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 2 из 3 [Всего 3 записей]« 1 2 3 »

2. Обозначим d - расстояние от точки до прямой, а ч/з б - отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos(+ysin(-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cos(+y1sin(-P=0

Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cos(+y0sin(-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М - произвольная точка гиперболы. r1, r2 - расстояния от М до фокусов;

|r2-r1|=2a; ac;

x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)

x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)

c2-a2=b2

x2b2-a2y2=a2b2

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М - произвольная точка параболы; К - точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y2=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет - величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв 1 (т.к. аc)

е гиперболы 1 (т.к. сa)

Определение: окружность - эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его "вытянутости"

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости ( перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/еa (а/еa)

D1: x= - a/e

D2: x= a/e

р=а(1-е2)/е - для эллипса

р=а(е2-1)/е - для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r1/d1=e

x(|a|, xe+a0

r1=xe+a

d1 - расстояние от М(x,y) до прямой D1

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

бм=-x-a/e

d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, гиперболу, если 1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= (

d=p+(cos(

e=(/p+(cos(

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) - точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у0=y'(x0)(x-x0)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е1;е1')=cos u

(е1;е2')=cos (90+u)= -sin u

(е2;е1')=cos (90-u)=sin u

(е2;е2')=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е1;е1')=(е1, (11е1+(12е2)= (11

(е1;е2')= (е1, (21е1+(22е2)= (21

(е2;е1')= (12

(е2;е2')= (22

Приравниваем:

(11=cos u

(21= - sin u

(12=sin u

(22=cos u

Получаем:

x=a+x'cos u - y'sin u

y=b+x'sin u - y'cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x'

y=b+y' - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I20 - элиптический тип

I20 - гиперболический тип

I2=0 - параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO' т.о. что бы в системе X'O'Y' коэфф. при x' и y' преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a11x'2+2a12x'y'+a22y'2+a'33=0 (2)

точка О' находится из условия: a13'=0 и a23'=0.

Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x';y')=0, f(-x';-y')= f(x';y')

Но точка О' существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.

Точка O' - единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I2(0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x'y' т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12'= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a11'x'2+a22'y'2+2a13'x'+2a23'y'+a33'=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I20 и пусть I10 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I30 - эллипс; 2. I3=0 - точка; 3. I30 - ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I30 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I20, I10, I30, тогда

а11''x''2+a22'' y''2= -I3/I2

I2=a11''a22'' 0

I1= a11''+a22'' 0

a11'' 0; a22'' 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I30 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I3=0 в данном случае т(0,0) - случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I20, I3(0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0 - пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I20; I2= a11''a22'' 0. Пусть a11''0; a22''0

Пусть I30

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I30

-(-а11'')x''2+a22'' y''2= -I3/I2

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I3=0

а11''x''2-(-a22'')y''2=0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2

Определение: ненулевой вектор ((, () координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

((, () - вектор асимптотического направления.

a11(2+2a12((+a22(2=0 (*)

Рассмотрим ((', (') параллельный ((, (): следовательно . Дробь (/( характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

RSSСтраница 2 из 3 [Всего 3 записей]« 1 2 3 »


При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат