Комплексные числа и действия с ними

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Доклад. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20118 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »

История развития комплексных чисел.

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.

И до этого открытия при решении квадратного уравнения x2 + + = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)2 - q, где величина (p/2)2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались "ложными") не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер - один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.

О комплексных числах.

Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b - действитель-

ные числа , а i - число нового рода, называемое мнимой единицей.

"Мнимые" числа составляют частный вид комплексных чисел

(когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b - ординатой комплексного числа

a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе-

ние i*i равно -1, т.е.

i2= -1. (1)

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу (1). Отсюда названия: "мнимая единица", "мнимое число" и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

Соглашение о комплексных числах.

1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a - 0i).

П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись -2 + 0i означает -2.

2. Комплексное число вида 0 + bi называется "чисто мнимым". Запись bi обозначает то же, что 0 + bi.

3. Два комплекных a + bi, a' + b'i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если

a = a', b = b'. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:

2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.

З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i.

Сложение комплексных чисел

О п р е д е л е н и е. Суммой комплексных чисел a + bi и a' + b'i называют комплексное число (a + a') + (b + b')i.

Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 - 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 - 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.

4.Вычитание комплексных чисел.

О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' + b'i (вычитаемое) называется комплексное число (a - a') + (b - b')i.

Пример 1. (-5 + 2i) - (3 - 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

Умножение комплексных чисел.

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a' + b'i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a' + b'i) должно равняться aa' + (ab' + ba')i + bb'i2 , а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa' - bb') + (ab' + ba')i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a' + b'i называется комплексное число

(aa' - bb') + (ab' + ba')i.

З а м е ч а н и е 1. Равенство i2 = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 , т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a' = 0, b' = 1 Имеем aa' - bb' = -1, ab' + ba' = 0, так что произведение есть -1 + 0i, т. е. -1.

З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1.

Пример 1. (1 - 2i)(3 + 2i) = 3 - 6i + 2i - 4i 2 = 3 - 6i + 2i + 4 = 7 - 4i.

Пример 2. (a + bi)(a - bi) = a2 + b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Деление комплексных чисел.

Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a' + b'i - значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 - 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 - 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 - 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

RSSСтраница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »


Найти репетитора

При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат