Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Курсовая работа. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20086 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа:

- построение математической модели исследуемого объекта

- выбор способа и алгоритма решения полученной модели

- численная реализация алгоритма

Цель данной работы - на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Постановка задачи

Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой ?, на концах стержня поддерживается постоянная температура ?0.

Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0.

Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).

(1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui

Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

(1.2)

где ????коэффициент теплопроводности, ????коэффициент теплоотдачи, D - диаметр стержня, ????температура потока, в который помещён стержень.

Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

(1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L - длина стержня, ?????постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности - зависит от температуры:

(1.4)

где ?????начальное значение коэффициента теплопроводности, ?????вспомогательный коэффициент.

Коэффициент теплоотдачи ??вычисляют по формуле:

(1.5)

т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь ?????значение ??при t стремящемся к бесконечности, b - известный коэффициент.

Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

(1.6)

где а - коэффициент температуропроводности, ????наименьший положительный корень уравнения:

(1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

Обработка результатов эксперимента.

Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

(2.1)

В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

(2.3)

Сумма

Система (2.3) примет вид:

(2.4)

В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через "p":

Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В результате получаем:

Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:

Smin=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ??, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:

Где r - число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.

Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

Где Sk - минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

??? главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S0=3.5438 10-22

S1=-8.9667 10-14

S2=6.3247 10-7

Откуда:

Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.

Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

Выбираем доверительную вероятность ?=0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение ????равное 2,35, удовлетворяющее равенству:

Доверительные интервалы для коэффициентов:

(2.4*)

В нашем случае примут вид:

Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией ????Мы выбрали функцию регрессии в виде:

Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:

(2.5)

C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r1 = 4 (количество точек - 6, параметра - 2).

Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:

(2.7)

Решая эту систему методом Гаусса, получим:

(2.8)

Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:

Н0 - альтернативная гипотеза

Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.

В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:

(2.9)

имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F*?, удовлетворяющее равенству: p(FF*??=?

В нашем случае F=349.02, а F*?=10,13.

Если бы выполнилось практически невозможное соотношение FF?, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом

, коэффициенты в котором неодинаковы.

3. Нахождение коэффициента теплопроводности ?.

Коэффициент ??вычислим по формуле (1.5), обозначим:

(3.1)

Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления ??не превосходила 0,1%, т.е.:

RSSСтраница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »


При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат