Интеграл по комплексной переменной

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Курсовая работа. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20114 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 4 [Всего 4 записей]1 2 3 4 »

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной ?, используя параметрическое задание кривой С зададим ??t??и?? (t), где ??и??'являются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть ?= t=???причем ??и ??могут быть бесконечными числами .?

?Пусть?? и ??удовлетворяют условию : [?'(t)]2 + [?'(t)]2 - 0. Очевидно, что задание координат - =??t??и???? (t), равносильно заданию комплексной функции - (t)= ??(t) ??i?(t).

Пусть в каждой точке - (t) кривой С определена некоторая функция f (? ). Разобьем кривую С на n - частичных дуг точками деления ?0 , ?1 , ?2 , ..., ??n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t0, t1, ..., t i+1 t i.

?? i =? i - - i-1. Составим интегрируемую функцию S = ?f (?*)?? i . (1)

где ?*- производная точки этой дуги.

Если при стремлении max |?? i |? 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек - i , то этот предел называется интегралом от функции f (? ) по кривой С.

Подставив (3) в (1) получим :

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при ?? и ?? ??0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f (? ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О ограниченности интеграла.

При этом z = - (? ).

7.) Пусть Cp - окружность радиуса ?, с центром в точке Z0. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : - = Z0 + ??ei?, 0 - ? - 2?, d? = i??ei? d? .

Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру - контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :

Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

( 8 )

ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т.к. f(? ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

Аналогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f(?) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :

Пусть f (?) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см. рис.). Пусть f (?) непрерывна в замкнутой области G, тогда :

, где С - полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл.

Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим:

интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф? (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.

Пусть функция f(Z) - аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию - (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур - с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и ?. Согласно теореме Коши имеем :

По свойствам интегралов :

Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве - окружность ?? с радиусом - . Тогда:

Уравнение окружности

Подставив (4) в (3) получим :

Устремим

Тогда т.к. функция f(?) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех ?0 существует ?0, что для всех - из ?-окрестности точки Z0 выполняется | f(?) - f(Z0) | ?.

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :

Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(?) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре - , лежащем в области аналитичности функции f(?) и содержащем точку Z0 внутри.

Очевидно, что если бы функция f(?) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы - в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

При Z0 - Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования - и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.

RSSСтраница 1 из 4 [Всего 4 записей]1 2 3 4 »


При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат