Дискретная математика

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Курсовая работа. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20033 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »

Введение

Общество 21в. - общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации...

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

1. Язык дискретной математики;

2. Логические функции и автоматы;

3. Теория алгоритмов;

4. Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.

Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.

Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики - множество.

Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.

Множество обозначают: M,N .....

m1, m2, mn - элементы множества.

Символика

A - M - принадлежность элемента к множеству;

А - М - непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:

1,2,3,... множество натуральных чисел N;

...,-2,-1,0,1,2,... - множество целых чисел Z.

множество рациональных чисел а.

I - множество иррациональных чисел.

R - множество действительных чисел.

K - множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А - В - А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А - В и А - В то А - В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = ?.

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = ?.

2) множество ?, сумма углов которого - 1800 пустое: M = ?.

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики ...

Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.

Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.

Множество можно задать:

1) Списком элементов {a,b,c,d,e};

2) Интервалом 1x5;

3) Порождающей процедурой: xk=?k sinx=0;

Операции над множествами

1) Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

А - В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.

Диаграмма Венна - это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.

Объединение двух множеств

Объединение системы множеств можно записать

- объединение системы n множеств.

Пример: объединение множеств, когда они

заданы списком.

A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}

2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.

Пересечение прямой и плоскости

1) если прямые || пл., то множество пересечений - единственная точка;

2) если прямые II пл., то M ??;

3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.

Пересечение системы множеств:

4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.

В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. A\B - B\A.

4) дополнение

E - универсальное множество.

-- дополнение

Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.

Основные законы операций над множествами.

Некоторые свойства ?, - похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства

1) AUB=BUA; A?B=B?A - переместительный закон объединения и пересечения.

2) (АUB)UC = AU(BUC); (A?B)?C=A?(B?C) - сочетательный закон.

3) АU?=A, A??=?, A \ ?=A, A \ A=?

1,2,3 - есть аналог в алгебре.

3.а) - \ A = - - нет аналога.

4) ?; E \ A =; A \ E=?; AUA=A; A?A=A; AUE=E; A?E=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

5) A?(BUC)=(A?B)(A?C) - есть аналогичный распределительный закон - относительно U.

Прямые произведения и функции

Прямым декартовым "х" множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что а?А, b?B.

С=AхВ, если А=В то С=А2.

Прямыми "х" n множеств A1x,...,xAn называется множество векторов (a1,...an) таких, что a1?A1,..., An?An.

Через теорию множеств введем понятие функции.

Подмножество F?Mx x My называется функцией, если для каждого элемента х?Mx найдется y?Му не более одного.

(x;y)?F, y=F(x).

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:

Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому х?MX соответствует 1 элемент y?MY и обратное справедливо.

Пример: 1) (х,у) в круге

x=2 -- y=2

y=2 -- x=2..4

не взаимнооднозначное соответствие.

2) x = sinx

R-- R

Пусть даны две функции f: A--B и g: B--C, то функция y:A--C называется композицией функций f и g.

Y=f o g o - композиция.

Способы задания функций:

1) таблицы, определены для конечных множеств;

2) формула;

3) графики;

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N - множество натуральных чисел.

Множество N2 - счетно.

Доказательство

Разобьем N2 на классы

К 1-ому классу отнесем N1 (1; 1)

Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}

К i-му классу Ni {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.

Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.

Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2.

Аналогично доказывается счетность множеств N3,...,Nk.

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.

1-я 0, a11, a12 ....

RSSСтраница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »


Найти репетитора

При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат