Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Контрольная работа. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Информатика, IT
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=24963 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

(1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

где a, b, c, ..., (, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, ..., (, x. Пусть А - множество всех допустимых значений а, B - множество всех допустимых значений b, и т.д., Х - множество всех допустимых значений х, т.е. а?А, b?B, ..., x?X. Если у каждого из множеств A, B, C, ..., K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, ..., ( и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, ..., (, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ..., (, l, m, n а неизвестные - буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=?(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с?(-?;+?) с графиком функции а=?(х).Если прямая а=с пересекает график а=?(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=?(х) относительно х.

Записываем ответ.

(3. Примеры

I. Решить уравнение

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции - две "склеенных" гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если

, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а - , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

и .

Если а - , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а - , то , ;

Если а - , то решений нет.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции - это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

Ответ: .

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство "полупарабол" - правые ветви параболы "скользят" вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства "полупарабол" имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той "полупараболы", которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина "полупараболы" совпадает с точкой А, то .

Случай касания "полупараболы" с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

.

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток х? (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем а? (-1;7). Но , поэтому при а? (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

V. Решить уравнение

, где а - параметр.

Решение.

1. При любом а :

2. Если , то ;

если , то .

3. Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .

4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких - не имеет решения.

Ответ:

если , то

если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

RSSСтраница 1 из 2 [Всего 2 записей]1 2 »


При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат