Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=4485 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.

Большое число задач математики и физики требует отыскания собс-твенных значений и собственных векторов матриц, т.е. отыскания таких значений + , для которых существуют нетривиальные решения одноро-дной системы линейных алгебраических уравнений

(1)

и отыскания этих нетривиальных решений.

Здесь -квадратная матрица порядка m , - неизвестный вектор - столбец.

Из курса алгебры известно, что нетривиальное решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда

(2)

где Е - единичная матрица. Если раскрыть определитель, алгебраическое уравнение степени m относительно .Таким образом задача отыскания собственных значений сводится к проблеме ра-скрытия определителя по степеням и последующему реше-нию алгебраического уравнения m- й степени.

Определитель называется характеристи-ческим (или вековым ) определителем, а уравнение (2) называется хара-ктеристическим (или вековым ) уравнением.

Различают полную проблему собственных значений, когда необхо-димо отыскать все собственные значения матрицы А и соответствующие собственные векторы, и частичную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать только некоторые собственные значения, например, максимальное по модулю собственное значение .

Метод Данилевского развертывание векового определителя.

Определение. Квадратная матрица Р порядка m называется подо-бной матрице А , если она представлена в виде

где S - невыродженная квадратная матрица порядка m.

ТЕОРЕМА. Характеристический определитель исходной и подо-бной матрицы совпадают .

Доказательство.

Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А подобным преобразованиям приводится, к так называемой нормальной форме Фро-бениуса

Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид

т.е. коэффициенты при степенях характеристического полинома не-посредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р.

Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осу-ществляется последовательно построкам, начиная с последеней строки.

Приведем матрицу А

подобным преобразование к виду

Пусть Можн проверить,что такой вид имеет матрица , которая равна

где

Слеудующий шаг - приведение матрицы подобным преобразо-ванием к виду , где и вторая снизу строка имеет единицу в -ом столбце, а все остальные элементы строки равны нулю:

Если то можно проверить, что такой вид имеет матрица :

где

Таким образом

Далее процедура аналогичная, если на кождом шаге в очередной строке, на месте которого подобным преобразованием нужно получить единицу, не равную нулю.

В этом случае ( будем называт его регулярным ) нормальная формула Фробениуса будет получена за ( m-1 ) шагов и будет иметь вид

Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду

и элемент. Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль.

В этой ситуации возможно два случая. В первом случае к-й строке левее элемента есть элемент

Тогда домножая матрицу слева и справа на элементарную матрицу перестановок , получаем матрицу

у которой по сравнению с матрицей переставлены l -я и (k-1 )-я строка l-й и ( k-1)- й стодбец. В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице . Она подбна матрице (и, следовательно, исходной матрице А ), т.к. елементарная матрица перестановок совпадает со своей обратной, т.е.

Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице ?лемент и все элементы этой строки, которые тоже находятся левее его, тоже равны нулю. В этом случае характеристический определитель матрицы можно представить в виде

где і - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы и имееют вид:

Обративм внимание на то, что матрица уже нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель просто развертывается в виде многочлена с коэффциентами, равными элементам первой строки.

Сомножитель , ???? характеристический определитель матрицы . Для развертывания можн опять применять метод Данилевского, приводя матрицу подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса.

Предположим теперь, что матрица А подобным преобразованиям

уже приведена к нормальной форме Фробениуса. Решая характеристическое уравнение

находим одним из известных методов его корни которые являются собственными значениями матрицы Р и исходной матрицы А.

Теперь стоит задача отыскать собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, т.е. векторы такие, что

Решим ее следующим образом: найдем собственные векторы матрицы Р , а затем по определенному соотношению я пересчитаем собственные векторы матрицы А . Это соотношение дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть є есть собственное значение , а есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А ,т.е.

Тогда есть собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному значению

Доказательство.Тривиально следует из того, что

Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S ,

имеем

А это и означает, что -собственный вектор матрицы А ,

отвечающий собственному значению

вектор матрицы Р , которая имеет нормальную форму Фробениуса и подобна матрице А. Записывая в развернутой форме, имеем

или

В этой системе одна из переменных может быть сделана свободной и ей может быть придано произвольное значение. В качестве таковой возьмем и положим

Тогда последовательно находим

т.е. искомый собственный вектор матрицы Р имеет вид

Если процесс приведения матрицы А к форме Р был регулярным, то

А для собственного значения будет вектор

Таким образом, задача вычисления собственных векторов матрицы А решена.



При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат