Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине "Математика - Алгебра"

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Учебные материалы. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20221 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 9 [Всего 9 записей]1 2 3 4 5 » ... Последняя »

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij - R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка ?= 1 2 ... n называется взаимно-однозначное

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(? ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) - = - (единичная)-четная; 2) sgn (?--1 ) = sgn - ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (? )

где - -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

приняты также обозначения для определителя: def A, ?.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1?. |A|=|At|,где Аt -трансионированная;

2?. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3?. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4?. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5?. Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6?. Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7?. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a1+...ak b1+...bk c1+....ck),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8?. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .

Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +....+anjAnj или

|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +...+ain Ain .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a11...a1n

|A|= a21...a2n = ann Mnn

.........

0......ann

Воспользуемся для доказательства определением определителя

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=annMnn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

Случай 3.

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система ?aijxj=bi, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:

?xi-определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) ?aijxj=bj, i=j=1,n, |A| ?0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .

Если |A| ?0? - А-1 == А-1АХ=А-1b == X=A-1 b. Известна теорема утверждающая, что A-1 = A* , где A* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, a?A, b?B}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название "бинарное отношение".

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W=??a,b? /,a,b?A?; aWb, a,b?A; ?a,b??W,где a,b?A

Например, бинарные отношения являются:

1. "?"на множестве прямых.

2. "=" на множестве чисел.

3. " - " изоморфизм на множестве алгебр.

4. " ~ " эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: ?a?A, aWa;

2) симметричность: ?a,b?A, aWb==bWa;

3) транзитивность: ?a,b,c ?A,aWb и bWc==aWc

4) связность: ?a,b?A,aWb==bWa;

5) антирефлексивность: ?a?A,?a,a??W;

6) антисимметричность: ?a,b?A,aWb,bWa==a=b

В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают

классификацию, которую представим схемой:

Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении W?A*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A?0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

Ka=?x/xWa /x,a?A? a-образующий элемент класса.

свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A?0 разбиение.

RSSСтраница 1 из 9 [Всего 9 записей]1 2 3 4 5 » ... Последняя »


Найти репетитора

При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат