Виды тригонометрических уравнений

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20183 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.

Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x - ?/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - ?/4).

sin(3x - ?/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим

3х - ?/4 = (-1)n arcsin 1/2 + n?, n?Z.

Зх - ?/4 = (-1)n ?/6 + n?, n?Z; 3x = (-1)n ?/6 + ?/4 + n?, n?Z;

x = (-1)n ?/18 + ?/12 + n?/3, n?Z

Если k = 2n (четное), то х = ?/18 + ?/12 + 2?n/3, n?Z.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - ?/18 + ?/12 + ((2?n + 1)?)/3 =

= ?/36 + ?/3 + 2?n/3 = 13?/36 + 2?n/3, n?z.

Ответ: х1 = 5?/6 + 2?n/3,n?Z, x2 = 13?/36 + 2?n/3, n?Z,

или в градусах: х, = 25° + 120 * n, n?Z; x, = 65° + 120°* n, n?Z.

Пример 2. sinx + ?З cosx = 1.

Решение. Подставим вместо ?З значение ctg ?/6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg ?/6 cosx = 1; sinx + (cos?/6)/sin?/6 * cosx = 1;

sinx sin ?/6 + cos ?/6 cosx = sin ?/6; cos(x - ?/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - ?/6 = ± arccos 1/2 + 2?n, n?Z; x = ± ?/3 + ?/6 + 2?n, n?Z;

x1 = ?/3 + ?/6 + 2?n, n?Z; x1 = ?/2 + 2?n, n?Z;

x2 = - ?/3 + ?/6 + 2?n, n?Z; x2 = -?/6 + 2?n, n?Z;

Ответ: x1 = ?/2 + 2?n, n?Z; x2 = -?/6 + 2?n, n?Z.

Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx * cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = ?n, n?Z, x2 = ?/4 + ?n/2, n?Z.

Ответ: x1 = ?n, n?Z, x2 = ?/4 + ?n/2, n?Z.

Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx

Решение. cosx - 0; x - ?/2 + ?n, n?Z.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx * cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = ?n, n?Z; cosx - cos(?/2 - x) = -1; 2sin ?/4 * sin(?/4 - x) = -1;

?2 * sin(?/4 - x) = -1; sin(?/4 -x) = -1/?2; ?/4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/?2 + ?n, n?Z;

x2 = ?/4 - (-1) n+1 * ?/4 - ?n, n?Z; x2 = ?/4 + (-1) n * ?/4 + ?n, n?Z.

Если n = 2n (четное), то x = ?/2 + ?n, если n = 2n + l (нечетное), то x = ?n.

Ответ: x1 = ?n, n?Z; x2 = ?/4 + (-I)n * ?/4 + ?n, n?Z.

Способ подстановки

Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| - 1. 2z2 + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; ?Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± ?/3 + 2?n, n?Z. Ответ: х = ± ?/3 + 2?n, n?Z.

Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx - 0, cosx - 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.

Пример 1. ?3sin2 2x - 2sin4x + ?3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение ?3sin22x - 4sin2xcos2x + ?3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид ?3 tg22x - 4tg2x + ?3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда ?3z2 - 4z + ?3 = 0; Д = 4; ?Д = 2.

z1 = (4 +2)/2?3 = 6/2?3 = ?3; z2 = (4 - 2)/2?3 = 1/?3

tg2x = ?3 или tg2x = 1/?3

2x = ?/3 + ?n, n?Z; 2x = ?/6 + ?n, n?Z;

x1 = ?/6 + ?n/2, n?Z ; x2 = ?/12 + ?n/2, n?z.

Ответ: x1 = ?/6 + ?n/2, n?Z ; x2 = ?/12 + ?n/2, n?z.

Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sin? = 4/5; cos? = 3/5; sin(x+?) = 1, x + - = ?/2 + 2?n, n?Z.

Ответ: x = ?/2 - arcsin 4/5 + 2?n, n?Z.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(?3-tgx) - 1/(?3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx - ± ?3, х - ± ?/8 + ?n, n?Z и х - ± ?/2 + ?n, n?Z.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.

(?3 + tgx - ?3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)

x1 = ?n, n?Z

Второе уравнение имеет вид

2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± ?/4 + ?n, n?Z.

Ответ: x1 = ?n, n?Z; х2 = ± ?/4 + ?n, n?Z.

Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1. ?( cos2x + 1/2) + ?( sin2x + 1/2) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos2x + 1/2 + 2 ?(( cos2x + 1/2) ( sin2x + 1/2)) + sin2x + 1/2 = 4

?(( cos2x + 1/2) ( sin2x + 1/2)) = 1; ( cos2x + 1/2) ( sin2x + 1/2) = 1

( 1/2 + 1/2 cos2x + 1/2)( 1/2 - 1/2 cos2x + 1/2) = 1; (1 + 1/2 cos2x) (1 - 1/2 cos2x) = 1;

1 - 1/4 cos22x = 1; cos2x=0; x = ?/4 + ?n/2, n?z

Ответ: x = ?/4 + ?n/2, n?z.

Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + ?n, n?Z; х2 + 5х - (6+?n) = 0, n?z;

Д = 25 + 4(6 + ?n) = 49 + 4?n, n?Z; х1,2 = (-5 - ?(49 + 4?n))/2, n?z

Решение имеет смысл, если 49 + 4?n 0, т.е. n - -49/4?; n - -3.

Литераура:

"Математика" Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

"Алгебра начала анализа 10-11" А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)



При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат