Векторная алгебра

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=8710 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением x вектора а на число в случае 0, а О называют вектор, модуль которого равен | ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если 0, и в противоположную, если 0. Если =0 или (и) a =0, то a=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа , ,…, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

(1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа , ,…, равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1,e2,e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

Числа a1,a2,a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1,a2,a3}.

Два вектора a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} ,b 0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1= b1,a2= b2,a3= b3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3} и c={c1,c2,c3} является равенство :

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3} равны суммам соответствующих координат:

Координаты произведения вектора а на число равны произведениям координат а на :

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла между ними:

За принимается угол между векторами, не превосходящий . Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b)= (b, а) (коммутативность),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

(a,b)=( a,b) =(a, 6) (сочетательность относительно умножения на число),

(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

Косинус угла между ненулевыми векторами a={a1,a2,a3} и b={b1,b2,b3}

может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a={a1,a2,a3} с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

правило левой руки правило правой руки

Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла положительного вращения от a к k:

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1,a2} {b1,b2}, то :



При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат