Билеты по математическому анализу

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Методическое пособие. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20153 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 6 [Всего 6 записей]1 2 3 4 5 » ... Последняя »

Осн. понятия

Грани числовых мн-в

Числовые последовательности

Непр. ф-ции на пр-ке

1. Осн. понятия

Мат.модель - любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.

Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. - число, которое можно представить в виде p/q где p и q - цел. числа. Иррац. - всякое вещественное число, которое не явл. рационал.

Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2...аn... где а -люб. число, а а1, а2 ... аn числа, приним. целые знач.

Некоторые числовые множества.

Мн-ва - первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.

Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х? вып-ся усл S(x)}.

Подмн-ва - если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. А?В. А=В- мн-ва совпадают.

Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} - обьединение мн-в А и В.

А? В={х?х?А и х?В} пересечение мн-в А и В.

А\ В={х?х?А, но х?В}дополн. к м-ву В во мн-ве А

Числовые мн-ва

R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {х?ахв} - интервал из R (открытый промежуток, т.к. не содержит границ)

[а,в] - замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки.

(а,в] - полуинтервал.

Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.

2. Грани числовых мн-в

Пусть Х - непустое мн-во веществ. чисел.

Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с?х(х?с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым

Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.

Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.

Точные грани числовых мн-в

Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва Х

Пример Х=[0,1) то max[0,1) не ?. min [0,1)=0

Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн. грань - supX=x*, а нижн. грань infX=x*

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.

Таким образом у огран. мн-ва обе грани ?, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел.

3. Числовые последовательности

Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, ... ,хn, ... наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .

!Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.

Основные способы задан. посл-ти:

а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.

б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.

Пример:

а) xn=5n x1=5, x2=10

б) x1=-2 xn=4n-1 -3, n=2,3... х2=-11, х3=-47

Ограниченные последовательности(ОП)

Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn?M ?n (xn?m ?n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.

Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ?xn?А.

Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема "Об единственности пределов"

Теорема "Сходящаяся посл-ть ограничена"

Теорема "О сходимости монотон. посл-ти"

4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет.

Опр Если для любого - 0 найдется такой номер N, для любого n N:?xn-a? ?

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.

Связь сходящихся посл-тей и б/м.

Дает сл. теорему

Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+?n, где посл-ть {?n}?0, т.е. является б/м.

Док-во

а) Допустим, что xn?a и укажем посл-ть ?n удовл. равенству xn=a+?n. Для этого просто положим ?n=xn-a, тогда при n???xn-a? равно растоянию от xn до а - 0 = ?n б/м и из равенства преобразования определяю ?n получаем xn=a+?n.

Свойство б/м

Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.

Т-ма о св-вах б/м

а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м

1) их сумма, разность и произведение являются б/м

2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м

!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.

Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с0 сущ-ет номер N для всех номеров nN ?xn?c.

!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.

Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7... явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.

Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема "Об единственности пределов"

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во (от противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а?b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса ?= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема "Сходящаяся посл-ть ограничена"

Пусть посл-ть {xn}?а - о N:?nN?xn-a?? эквивалентна а-?xna+? ?nN = что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству?xn?? c = max {?a-??,?a+??,?xn?,...,?xn-1?}

Теорема "Об арифметических дейсьвиях"

Пусть посл-ть {xn}?a,{yn}?b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n??)(xn?yn)=a?b

б) предел lim(n??)(xn?yn)=a?b

в) предел lim(n??)(xn/yn)=a/b, b?0

Док-во:

а)xn?yn=(а+?n)?(b+?n)=(a?b)+(?n??n) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a?b. Аналогично др. св-ва.

б) xn?yn=(а+?n)?(b+?n)=ab+?nb+a?n+?n?n

?n?b - это произведение const на б/м

а??n?0, ?n?n?0, как произведение б/м.

= поэтому в правой части стоит сумма числа а?b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn?yn сводится к a?b

Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1...xnxn+1...;

неубывающей, если x1?x2?...?xn?xn+1?...; убывающей, если x1x2...xnxn+1...; невозр., если x1?x2?...?xn?xn+1?...

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными

RSSСтраница 1 из 6 [Всего 6 записей]1 2 3 4 5 » ... Последняя »


Найти репетитора

При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат