Балансовые модели

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Курсовая работа. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20048 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.
Страница 1 из 3 [Всего 3 записей]1 2 3 »

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель - проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi - конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :

х1 - ( х11 + х12 + ... + х1n ) = у1

х2 - ( х21 + х22 + ... + х2n ) = у2 ( 1 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn - ( xn1 + xn2 + ... + xnn ) = yn

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом ( х'ik , y'i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха - аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1 , y2 , ... , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

_

у = ( у1 , у2 , ... , yn ) , ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , ... , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей вектор-планом :

_

x = ( x1 , x2 , ... , xn ). ( 3 )

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

x1 - ( a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ) = y1

x2 - ( a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ) = y2 ( 6 )

..........................................

xn - ( an1x1 + an2x2 + ... + annxn ) = yn ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

_ _ _

Е(х - А(х = У , или окончательно

_ _

( Е - А )(х = У , ( 6( )

где Е - единичная матрица n-го порядка и

1-a11 -a12 ... -a1n

E - A= -a21 1-a22 ... -a2n

.....................

-an1 -an2 ... 1-ann

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , ... , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , ... хn ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40

а11 = ---- = 0.2 ; а12 = ---- = 0.4 ; а21 = ---- = 0.55 ; а22 = ---- = 0.1

500 400 500 400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У0 неотрицательного решения х0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6( ) допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у10 и у20 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) - несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) - неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )(х0, т.е. если уравнение ( 6( ) имеет неотрицательное решение x0, хотя бы для одного У0, то оно имеет для любого У0 единственное неотрицательное решение.

RSSСтраница 1 из 3 [Всего 3 записей]1 2 3 »


При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат