Аппроксимация функций

Рефераты, курсовые, дипломные, контрольные (предпросмотр)

Тип: Реферат. Файл: Word (.doc) в архиве zip. Категория: Математика
Адрес этого реферата http://referat-kursovaya.repetitor.info/?essayId=20107 или
Загрузить
В режиме предпросмотра не отображаются таблицы, графики и иллюстрации. Для получения полной версии нажмите кнопку «Загрузить». Рефераты, контрольные, дипломные, курсовые работы предоставляются в ознакомительных целях, не для плагиата.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

1) аналитический

2) графический

3) табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию ?(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию

совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1, ...a0 , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

Pn(xi)=yi i=0,1,...n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом ?х=4,1 начиная с точки х0=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.

ГСА для данного метода

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.

Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=xi и сопоставляемое с yi.

Одно из условий согласования можно записать как

S = (fi-yi) - min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.

Использование критерия S = |fi-yi| - min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой

S = (fi-yi)2 , (1)

обращается в минимум.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f(x)=C0 + C1X + C2X2+...+CMXM. (2)

Формула (1) примет вид S = ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) 2

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С0,С1,...СМ :

SC0 = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) = 0 ,

SC1 = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - yi ) Xi = 0 ,(3)

SCM = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) XiM = 0 ,

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

C0 (N+1) + C1 Xi + C2Xi2 +...+ CM XiM = Yi ,

C0Xi + C1Xi2 + C2Xi3 +...+ CMXiM+1 = Yi Xi ,(4)

C0XiM + C1XiM+1 + C2XiM+2 +...+ CMXi2M = Yi XiM .

Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.

Задание

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.

Программа

КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182

КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687

ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495

10 5.007687

20 10.01537

ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725



Найти репетитора

При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
Разработка и Дизайн компании Awelan
www.megastock.ru
Проверить аттестат